PSD的等效电路如图2所示，设电极1和电极2的距离为L，电极1和电极2输出的光电流分别为I1和I2，则电极3上的电流为总电流I0，并且IL=I1+I2。若以PSD的中心点位置作为原点，光点离中心点的距离为X。对一维PSD，如果负载电阻与面电阻相比很小，则有式(1)关系：
由式(1)可以看出光点坐标X仅和两极输出电流有关，而和入射光点强度无关，因此，若可以通过实验测量获得参数I1和I2的数值，光点坐标X就是可求的。
1．2 光学三角法构成的位移尺寸传感器
PSD进行位移测试时经常采用光学三角测量法。具体过程为：当激光束入射到被测试件表面时，会形成漫反射光斑，将其作为信号，利用透镜成像原理将收集到的漫反射光会聚到焦平面的光接收器上形成像点。当入射光斑随被测物面移动时，像点在光接收器上面做相应移动，根据像移大小和系统结构参数可以确定被测物面的位移量。基于PSD的微位移传感器测试原理由图3所示。
由于直接从电极输出的是微安级的光电流变化，并且负载电阻应该尽可能小，因此需要合适的信号调理电路对PSD的输出信号进行处理和运算才能得到位置坐标。本系统的PSD信号调理电路主要由前置放大器、加法器、减法器、除法器等构成。其中包含4个高精度运算放大器。两个作为前置放大运算放大器，将电流信号转换成电压信号进行放大，放大倍数取决于反馈电阻阻值。本系统在调试时为了提高测量精确度采用了精确阻值的电阻。另外两个高精度运算放大器分别作为加法器和减法器，为了实现精确测量，尽可能避免软件方法实现的除法器在两路数据采集过程中难以真正实时同步的缺点，本系统采用高精度模拟除法器实现除法运算功能。由于加法器、减法器、除法器的输出具有一定的电压波动，所以系统还加入了滤波器。用数据采集卡PCL-818HD采集高精度模拟除法器的输出电压并实现A／D转换，通过编程实现转换结果和PC机中的MATLAB数据连接，通过调用自行编写的建模程序实现对基于PSD的微位移传感器的建模，即在传感器系统中，电压大小与光点位置和原点之间的距离近似成线性比例关系。
2 用MATLAB语言建立数学模型原理
实验过程中所得到的实验数据往往是离散的，传感器建模的最终目标是通过某些拟合方法得到输入量与输出量之间的连续光滑曲线。实际测得一组传感器测量数据集{Xk，Yk}，(k=1，2，…n)，其中Xk为被测量，Yk为传感器输出量。基于最小二乘法的传感器数学模型的建立，就是要用多项式(2)
拟合测量数据集{Xk，Yk}，(k=1，2，…n)，使φ值最小。一般均采用欧氏范数‖δ‖2作为误差度量的标准。使用MATLAB的M语言对最小二乘算法进行编程，通常采用两种方法：利用polyfit函数进行多项式拟合，或利用矩阵除法解决复杂函数的拟合。文中用第一种方法拟合基于PSD的微位移传感器的数学模型。函数polyfit的输入量为X、Y、n，其中X、Y即为需要建立相互关系的2个变量的测量值，以数组的形式输入，n为多项式的阶数，输出的是多项式系数的行向量，得到的多项式是降幂的。对给定的一组数据(Si，Vi)(i=0，1，…，n)，选取线性无关的基函数φ={S0，S1，…，Sm}，要求由φ中找出一个函数y=V*(S)，使误差平方和
3 基于MATLAB语言的传感器建模流程
通过对某PSD的微位移传感器建模原理的分析，利用MATLAB语言对传感器进行建模步骤为：
1)实际测得一组实验数据(Si，Vi)(i=0，1，…，n)(以数组形式输入这样便于在计算过程中引用)，利用MATLAB中的plot(Si，Vi)函数完成描点画图，大致确定传感器系统输出电压和被测试件位移量之间变化趋势。
2)根据传感器系统输出电压和被测试件位移量之间变化趋势，采用分段建模方式确定PSD的微位移传感器数学模型为多项式形式如式(8)所示：
V(S)≈a0+a1S+…+amSm (8)
3)选取基函数为φ={1，S，S2，…，Sm}，建立位移矩阵S。
4)将电压矩阵和位移矩阵代入相应法方程。
5)求解矩阵A。
①输入实验测得电压数据、实验次数n’=n+1及拟合多项式阶数m②求ST及M=STS③求N=STV④求A=M-1N6)求Q值及Z值。
建模程序设计流程图如图4所示。
4 实例分析与仿真
完成系统硬件连接，并对系统进行调试，开始对数据进行采集。实验过程中，利用步进电机对系统位移进行改变，步进电机精度为0．1 μm，其值远小于步进电机的步距(步距为10μm)故可以认为位移值为真值。为了提高检测的精确度，减小随机误差，PC机所获取的测量值为对每个检测点进行连续20次测量所取的平均值，其精度足以满足要求。通过实验测得PSD的微位移传感器系统输出电压和被测位移量之间对应关系的一组数据如表1所示。(电压采用20次测量的均值)。
由实验数据可知：在PSD的中间区域内，V-S变化趋势基本上成线性关系；但是在被测试件位移量较大和接近PSD的边缘时，两个区间内线性度较差，呈现非线性关系，这主要因为影响传感器特性的因素有很多；PSD器件的固有特性决定其存在非线性，这也是其主要不足之处另外，PSD不是理想的点电极，电极之间并非对称，而且，入射光、反偏电压、背景光、环境温度等都是影响传感器特性的因素。故大致可以分3段拟合该PSD微位移传感器的数学模型。拟合后残差平方和的大小决定了多项式拟合的效果，为了尽可能降低各测量点的残差平方和的数值，要合理选择拟合的阶次。拟合阶次的选择既要兼顾拟合曲线的光滑程度，又要注重考虑真实反映传感器输入、输出之间的变化规律。某PSD的微位移传感器特性拟合曲线如图5所示。
5 结论
PSD的微位移传感器的输出电压和被测试件位移间存在对应关系。通过合理选择测量点，相应测得一组实验数据，运用MATLAB语言对PSD微位移传感器建立其数学模型，拟合求出PSD微位移传感器的(S，V)曲线。仿真结果表明，利用这种建模方法可以实现PSD微位移传感器数学模型阶次和系数的辨识，拟合出的(S，V)曲线较为直观地反映了某PSD微位移传感器的特性，具有较高的拟合精度。此种建模方法具有良好的通用性，富于实际意义。PSD微位移传感器的模型的建立为其非线性补偿问题找到了一个很好的途径。
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